فراکتال (Fractal)

فراکتال (Fractal) یا بَرخال شکل هندسی چند جزئی است که می‌توان آن را به قسمت‌هایی تقسیم کرد، به‌طوری که هر قسمت یک کپی از «کل» شکل باشد. به تعریفی دیگر فراکتال ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. در واقع فراکتال ساختاری است که  هر جزء از آن با کل آن همانند است. فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی می‌گویند. فرکتال شاخهٔ جدیدی از ریاضیات و هنر است. واژهٔ فراکتال مشتق‌شده از واژهٔ لاتینی Fractus (به‌معنی شکسته‌شده) می‌باشد که در سال ۱۹۷۵ برای اولین‌بار توسط بنوآ مندلبرات (Benoit Mandelbrot) مطرح شد.

فراکتال دارای ۳ ویژگی مهم است:
۱. دارای ویژگی خودهمانندی است (Self Similarity)
۲. شکل گرفتن از راه تکرار (Iterative Formation)
۳. بعد کسری (Fractional Dimension) (بعد آن یک عدد صحیح نیست)

منظور از بعد کسری:
۱. یک نقطه بعد ندارد.
۲. یک خط، شکلی یک بعدی است.
۳. یک صفحه، دو بعد دارد.
۴. شکل‌های حجیم، سه بعد دارند.
۵. اما فراکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند!

دنیای صفر بعدی در واقع نقطه ایست که دارای اندازه نیست و فقط یک تعریف است. خط در دنیای یک بعدی به اتصال دو نقطه هندسی گفته می‌شود که تنها یک مفهوم هستند و هیچ بعدی ندارند. بعد خط یک، بعد صفحه دو و بعد فضا سه است. فراکتال‌ها برخلاف همهٔ این‌ها بعد صحیح ندارند. برای نمونه بعد یک فراکتال می‌تواند ۱٫۲ باشد که بدین صورت از خط پیچیده‌تر و از صفحه سادتر است. بعد فراکتال‌ها از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آیند.

برای بوجود آمدن یک شکلِ خودهمانند از یک چیز، باید تمامِ ابعادِ آن چیز نصف شود. مثلا: همان‌طور که می‌دانید یک پاره‌خط، یک بعد دارد و برای تشکیل یک خودهمانند باید پاره‌خط نصف شود و بعد از نصف شدن ۲ پاره‌خط متشابه داریم. و همچنین مربع دو بعد دارد و برای تشکیل خودهمانند باید هر دو بعد آنرا نصف کنیم. با نصف کردن هر دو بعد، ۴ مربع متشابه داریم. و همچنین مکعب سه بعد دارد و برای تشیکل خودهمانند باید هر سه بعد آنرا نصف کنیم. با نصف کردن هر سه بعد، ۸ مکعب متشابه داریم.

شکلبعدتعداد اشکال متشابه حاصله
پاره خط۱۲ = ۲۱
مربع۲۴ = ۲۲
مکعب۳۸ = ۲۳

به‌نظر می‌رسد که بعد، همان «توان» است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصل باید ۲ را به توان بعد آن شکل برسانیم. بنابراین جدول زیر را می‌توانیم بجدول بالا اضافه کنیم.

شکلبعدتعداد اشکال متشابه حاصله
هر شکل خود متشابهd۲d = n

مثلا در مورد مثلث سیرپینسکی، اگر ما هر سه ضلع مثلث را نصف کنیم به سه مثلث می‌رسیم (توجه داشته باشید که مثلث وسط جزء مثلث سیرپینسکی نیست)، یعنی ۳ = ۲d

۳ عددی بین ۲۱ و ۲۲ است. بعد آن بین ۱ و ۲ است. از طریق لگاریتم می‌توانید این مسئله را حل کنید.

از فراکتال‌های ساده می‌توان به برفدانهٔ کُخ (Koch Snowflake) و مثلث سیرپینسکی (Sierpinski Triangle) اشاره کرد.

برفدانهٔ کُخ (Koch Snowflake):

مثلث سیرپینسکی (Sierpinski Triangle):